如何判断正定矩阵（判断正定矩阵的方法和半正定）

文章主要观点

矩阵正定判定的三个充要条件：A的特征值全为正数；A合同于单位阵；A的顺序主子式全为正。正定矩阵定义在线性代数里，正定矩阵有时会简称为正定阵。在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。

正定矩阵的判别方法：对称矩阵A正定的充分必要条件是A的n个特征值全是正数。对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。对称矩阵A正定(半正定)的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵U使A=U^TU。

判断矩阵是否为正定矩阵的前提是这个矩阵是实对称矩阵，正定矩阵的定义上就要求其是实对称矩阵。正定矩阵广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz 0，其中zT 表示z的转置，就称M为正定矩阵。

正定矩阵的三种判定方式介绍如下：特征值检查：求出矩阵的所有特征值，判断它们是否全部大于0。如果全部大于0，则是正定矩阵，如果存在一个特征值小于或等于0，则不是正定矩阵。

正定矩阵的性质：正定矩阵一定是非奇异的。奇异矩阵的定义：若n阶矩阵A为奇异阵，则其的行列式为零，即 |A|=0。正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。

矩阵正定性的性质：正定矩阵的特征值都是正数。正定矩阵的主元也都是正数。正定矩阵的所有子行列式都是正数。正定矩阵将方阵特征值，主元，行列式融为一体。

正定矩阵的行列式恒为正；实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同；若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵；两个正定矩阵的和是正定矩阵；正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

行列式法对于给定的二次型写出它的矩阵，根据对称矩阵的所有顺序主子式是否全大于零来判定二次型 (或对称矩阵)的正定性。

判断正定矩阵的方法如下：证明正定矩阵的方法有：求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的。若A的特征值均为负数，则A为负定的。计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的。

判断一个矩阵A是否为正定矩阵方法：求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。计算A的各阶顺序主子式。

1、正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。若A为n阶对称正定矩阵，则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得A=L*L′，此分解式称为正定矩阵的楚列斯基（Cholesky）分解。

2、正定矩阵的行列式恒为正；实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同；若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵；两个正定矩阵的和是正定矩阵；正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

3、行列式法对于给定的二次型写出它的矩阵，根据对称矩阵的所有顺序主子式是否全大于零来判定二次型 (或对称矩阵)的正定性。

4、判断矩阵是否为正定矩阵的前提是这个矩阵是实对称矩阵，正定矩阵的定义上就要求其是实对称矩阵。正定矩阵广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz 0，其中zT 表示z的转置，就称M为正定矩阵。

5、主子矩阵判据：对于一个n×n的实对称矩阵，判断它是否为正定矩阵，可以检查它的各阶顺序主子式，如果所有的顺序主子式均大于零，则该矩阵是正定的。

正定矩阵一定是非奇异的。奇异矩阵的定义：若n阶矩阵A为奇异阵，则其的行列式为零，即 |A|=0。正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。

判断一个矩阵是否为正定矩阵有两种方法：求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。计算A的各阶主子式。

正定矩阵的判定方法如下：矩阵是几阶，就求几个顺序主子式，并得到相应的值，如果所有值都大于0，则该矩阵是正定矩阵。

行列式法对于给定的二次型写出它的矩阵，根据对称矩阵的所有顺序主子式是否全大于零来判定二次型 (或对称矩阵)的正定性。

正定矩阵有以下性质：正定矩阵的行列式恒为正；实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同；若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵；两个正定矩阵的和是正定矩阵；正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

1、设实对称矩阵A，如果对于任意的实非零向量x≠0有x^TAx0，则矩阵A称为正定的。正定矩阵的性质与判别方法对称矩阵A正定的充分必要条件是A的n个特征值全是正数。对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。

2、n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的 n 个特征值全是正数。证明：若，则有 ∴λ＞0 反之，必存在U使即有这就证明了A正定。

3、判断一个矩阵是否为正定矩阵有两种方法：求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。计算A的各阶主子式。

4、正定矩阵的判别方法有求出A的所有特征值和计算A的各阶主子式。求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的；计算A的各阶主子式。